#数楽 高校でこれを教えてくれると助かるという話の一例。(a,b)≠(0,0)とする。「直線 ax+by+c=0と点(p,q)の距離」と「z=ax+by+cのグラフの傾き方とベクトル(a,b)の関係」と「コーシー・シュワルツの不等式」をすべて結び付けた理解の仕方。続く

#数楽 コーシー・シュワルツの不等式|ax+by|≦√(a^2+b^2)√(x^2+y^2)とその等号成立条件より、x^2+y^2=1のとき、ax+byは(x,y)=(a,b)/√(a^2+b^2)のとき最大値√(a^2+b^2)になることがわかる。続く

#数楽 この結果は、z=ax+by+cのグラフ(傾いた平面になる)の傾きが最大の方向はベクトル(a,b)の方向と一致し、その方向での最大傾きはベクトル(a,b)の長さになることを意味している。これを知っているとz=ax+by+cを直観的に扱い易くなる、続く

#数楽 続き。そのことを使えば、|ap+bq+c|が直線ax+by+c=0と点(p,q)の距離の√(a^2+b^2)倍になることがわかる。そしてこの結果から逆に以上で述べた話が直ちに出て来る。斜めに傾いた平面をクリアにイメージできるかどうかだけの話でした。

#数楽 最悪なのは、意味もわからずに「(直線ax+by+c=0と点(p,q)の距離)=|ap+bq+c|/√(a^2+b^2)」を「公式」として丸暗記してしまうこと。常に丸暗記ではなく、理解が好ましい。理解を得る方向でずっと頭を使い続けることは楽しいことのはず。

#数楽 以上は高校レベルの話だが、大学での数学も本質的に何も変わらない。xy平面やxyz空間をn次元空間に一般化する程度の話でしかない(と主観的に思うべき)。高校における2次元、3次元での結果がほとんど全部n次元の場合に自然に一般化される。通用する直観も含めて全部一般化される。

#数楽 続く。n次元の場合への一般化は現実世界をモデル化して理解するために必要。現実世界は複雑なので同時に扱う数値の個数が大量になることが多い。n次元の話への理解が必要になる。しかし、ビビる必要はない。まず2〜3次元の見える場合について健全な直観を身につけて、〜続く

#数楽 続き〜、それがそのままn次元でも通用することを地道に確認して行けばよい。最終的にはn→∞でn=2,3の場合には想像できなかったことが起こることに気付くことになるだろう。数学を仕事で使っている多くの人達がたどった道をみんな通ることになる。

https://twitter.com/ysmemoirs/status/799003733468135424 …#数楽 ううむ、暗記で処理されちゃうかあ…・点と直線の距離・三角関数の加法定理・微分の定義・1/6公式微分の定義が「暗記で行ける」を促すというのだけはわからないが、残りの3つも暗記で処理するとつまらない。続く

#数楽 点(p,q)と直線ax+by+c=0の距離dはd=|ap+bq+c|/√(a^2+b^2)となるという結果の絶対値を外した版は一次函数z=ax+by+cのグラフがベクトル(a,b)の方向に傾き√(a^2+b^2)の登り坂の傾いた平面になることを意味しています。続く

#数楽 続き。点と直線の距離の公式は、一次函数z=ax+by+cの値の絶対値は直線z=0と点(x,y)の距離に比例し、比例定数は√(a^2+b^2)になることを意味します。そしてベクトル(a,b)は直線z=0に垂直。これで函数z=|ax+by+c|の形がわかるわけです。続く

#数楽 続き。しかし、普通は絶対値を取る前のy=ax+bのグラフについて先にやるのが普通です。それは傾きがaの傾いた直線の形になる。点と直線の距離についても、z=ax+by+cのグラフの傾き方がベクトル(a,b)で表されるという理解の方が基本的です。続く

#数楽 z=ax+by+cのグラフの傾き方を知っていることはものすごく重要です。y=ax+bのグラフの傾き方を知らないと困るこたと同じ。2変数函数の微分の概念は2変数函数を局所的にz=ax+by+cの形の函数で近似することによって得られます。続く

#数楽 続き。z=ax+by+cのグラフの形を知らないと、2変数函数の微分が何をやっているのか理解不能になります。しかし、そのグラフの傾き方を知っていると、接平面の傾き方が偏微分で与えられることがものすごくよくわかる。この直観は数学の実用的な応用のためには必須だと思う。続く

#数楽 続き。所謂Cauchy-Schwarzの不等式の話も以上の話の範疇に含まれます。そういう話は以前次のリンク先に書きました。https://twitter.com/genkuroki/status/793223250444554240 …

#数楽 せっかく受験勉強するならば、くだらない受験のためではなく、実際に数学を応用することを見据えて普遍的に役に立つ見方を学んだ方がよいと思う。そして、大学で数学を教えている人達はそういう勉強に誘導できる入試問題を出せたらよいと考える傾向が強いと思う。続く

#数楽 続き。1/6公式なんぞをやる余裕があるなら、ベータ函数まで一般化してしまった方がすっきりします。ベータ函数は応用上知っていないと困る知識の１つなので受験勉強のついでに触れるのはとてもよいことだと思います。詳しくは→https://twitter.com/genkuroki/status/735246658334691328 …

#数楽 続き。「点と直線の距離の公式」とか「1/6公式」とかの暗記とか言うと全くくだらない話になってしまうのですが、函数z=ax+bx+cのグラフの様子とかベータ函数とかの話にすればそれは知っておいた方がよい普遍的な知識になります。ほんの少し溝を飛び越えるだけだ面白い話になる。

#数楽 学生と話をすると、結構、いい先生にあたったおかげで数学が好きになった学生が多いような印象を受けます。大学で数学を教えていると高校や予備校の数学の先生には感謝することが多いです。でもほんの一部の学生に受験数学のくだらない面の被害を見付けて悲しくなることがある。

#数楽 続き。効率的に本格的な考え方と健全な直観を育てて行かなければ実際の応用で使われるレベルの数学の理解に達することは無理です。個人的な意見では、受験勉強の段階からそういうことを意識できる人の方が受験でも有利になると思う。若い人達にとってモチベーションの違いは大きいと思う。

#数楽 単に大学受験をクリアするために勉強するのと、最先端の科学や技術を理解することを見据えて勉強するのでは、どちらの方が興奮できるか？私個人は絶対に後者だと思う。所謂文系学部学科でも統計学を知らないと色々不利になります。数学は強力な矛にも盾にもなります。

#数楽 続き。所謂文系諸学問で重要なのは権威的な議論に対する健全な批判精神。数学的な道具を権威的に使うことに対抗するには数学的に無知であってはまずい。少なくとも助けてくれる数学に強い人と話せるだけの教養は必要。自分にできないことは他人に頼ればよいのですが、頼るにも知識が必要です。

#数楽 続き。たとえば、統計処理をした結果のp値を報告している人が何か怪しいことを言っているように感じたとします。そのときに「そのp値はどのような前提における何の確率なのかを教えて下さい」と質問できるだけの教養と度胸があると怪しい言説を粉砕できる可能性が飛躍的に高まると思う。

#数楽 続く。もしもクリアな回答が返って来ずに、p値の定義さえ知らずに統計処理をやっていることがわかったなら、そこを徹底的に攻めて潰しにかかるのが世のため人のためになる行為だと思います。統計学用語は権威的に響くようにカスタマイズされていることが多いのですが、理解すれば怖くない。

#数楽 あと、今の高校生の大部分はiPhoneまたはAndroid携帯を持っていると思う。WolframAlphaの有料アプリを保護者に購入してもらうべきだ。ただしカンニングには絶対に使用しないこと！かなり強力に数学の問題の答えを教えてくれる。グラフ作画はとても便利。続く

#数楽 リンクメモhttps://www.google.co.jp/search?q=WolframAlpha+使い方 …WolframAlphaの使い方の検索http://twilog.org/genkuroki/search?word=WolframAlpha&ao=a …私によるWolframAlphaの使用例

#数楽 訂正https://twitter.com/genkuroki/status/799731351440084992 …z=ax+bx+c を z=ax+by+c に訂正。